已知a、b、c為實(shí)數(shù),且多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能被x2+3x-4整除,則2a-2b-c= .
【答案】
分析:由于x
2+3x-4=(x+4)(x-1),而多項(xiàng)式x
3+ax
2+bx+c能被x
2+3x-4整除,則x
3+ax
2+bx+c能被(x+4)(x-1)整除,即-4,1是方程x
3+ax
2+bx+c=0的兩根,把x=-4和x=1分別代入x
3+ax
2+bx+c=0,得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,將此方程組變形,即可得到2a-2b-c的值.
解答:解:∵x
2+3x-4=(x+4)(x-1),
∴x
3+ax
2+bx+c能被(x+4)(x-1)整除,
即-4,1是方程x
3+ax
2+bx+c=0的兩根.
把x=-4和x=1分別代入x
3+ax
2+bx+c=0,得

,
①-②×6,得10a-10b-5c=70,
兩邊除以5,得2a-2b-c=14.
故答案為14.
點(diǎn)評:本題主要考查了整式乘除法與因式分解的關(guān)系及求代數(shù)式的值的方法,屬于競賽題型,有一定難度.本題的關(guān)鍵是能夠通過整式乘除法與因式分解的關(guān)系得出x
3+ax
2+bx+c含有因式(x+4)(x-1),從而可知-4,1是方程x
3+ax
2+bx+c=0的兩根.難點(diǎn)是列出方程組之后將其變形,從而求出2a-2b-c的值.