Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于A點，交y軸于B點，點C是線段AB的中點，連接OC，然后將直線OC繞點C逆時針旋轉30°交x軸于點D，則△ODC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：通過直線的解析式可以求出A、B的坐標，從而求出OA、OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，利用三角函數(shù)值還可以求出∠BAO=30°，通過直角三角形的性質可以求得△BOC為等邊三角形，在△ADC中作出AD邊上的高，用解直角三角形的方法求出其高及AD的長度就可以求出OD的長度，從而求出面積．
解答：解：作CE⊥AD于點E，
∴∠AEC=90°．
∵，
∴x=0時，y=，即OB=
y=0時，x=3，即OA=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=2，
∴sin∠OAB==，
∴∠OAB=30°，∠OBA=60°，OB=AB
∵點C是線段AB的中點，
∴OC=BC=AC=AB=
∴OC=OB=BC=，∠COA=∠CAO=30°
∴△BOC為等邊三角形，∠OCA=120°
∵∠OCD=30°，
∴∠ACD=90°
∴在Rt△ACD中由勾股定理得：
CD=1，AD=2，
∴OD=1，
在Rt△ACE中由勾股定理得：
CE=
∴S_△OCD==．

故答案為：．
點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了一次函數(shù)的圖象，直角三角形斜邊上中線的運用，旋轉的性質，勾股定理的運用，三角形的面積公式．