Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=10，BC=4，以AB為直徑作⊙O，⊙O交CD于E、F兩點（E在F的右邊），連接AE、BE．
（1）找出圖中一對相似的三角形，并說明理由；
（2）求弦EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ADE=∠ECB=90°，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠AEB=90°，易證得Rt△ADE∽Rt△ECB；
（2）過O點作OH⊥DC于H，連OE，根據(jù)垂徑定理得FH=EH，再由矩形的性質(zhì)得到OE=

1

2

AB=5，OH=BC=4，然后在Rt△OEH中利用勾股定理計算出EH，即可得到EF．

解答：解：（1）Rt△ADE∽Rt△ECB．
證明如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠ECB=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
而∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CEB，
∴Rt△ADE∽Rt△ECB；

（2）過O點作OH⊥DC于H，連OE，如圖，
∴FH=EH，
∵四邊形AOHD是矩形，
∴OE=

1

2

AB=5，
∴OH=BC=4，
在Rt△OEH中，
∴EH=

OE2-OH2

=

5 2-42

=3，
∴EF=2EH=6．

點評：本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為直角．也考查了垂徑定理和勾股定理以及三角形相似的判定．