Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b（b＜0）的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點P，點P在第一象限，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、D，且S_△PAC=1，，tan∠ACP=．
（1）求點D的坐標；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式：
（3）根據(jù)圖象寫出當x＞0時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點坐標為（0，b），即OD=-b．
∵=，
∴OB=-b．
∵PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，
∴四邊形OAPB為矩形．
∴PA=0B=-b．
在Rt△PAC中，tan∠ACP=，
∴AC=-b，
∵S_△PAC=1，
∴b=-2，即D點坐標為（0，-2）；

（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=，
∴OC=2OD=4，OA=6，
∴P點的坐標為（6，1），
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=x-2、y=；

（3）由圖象可知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點為P（6，1），
當0＜x＜6時一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．
分析：（1）由一次函數(shù)y=kx+b可知，D點坐標為（0，b），即OD=-b，結(jié)合tan∠ACP=，S_△PAC=1，求出b的值，D點的坐標即可求出；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP=，再求出P點坐標，于是可以求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）由兩函數(shù)的圖象直接寫出x的取值范圍即可．
點評：本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式，由圖象特征確定自變量的取值范圍．