Question

已知拋物線y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB=，試求m的值；
（Ⅱ）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）讓y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出較大的根減去較小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面積時(shí)，要結(jié)合圖象，已知條件，可以發(fā)現(xiàn)S_△COM=S_△CON．而△MNC的面積等于S_△COM+S_△CON．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的兩根．
∵x₁+x₂=m，x₁•x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值為1．

（2）設(shè)M（a，b），則N（-a，-b）．
∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn)，
∴
①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴當(dāng)m＜2時(shí)，才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N，
∴．
這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為，
又∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2××（2-m）×=27，
解得m=-7．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，以及表達(dá)圖形面積的方法．