Question

已知拋物線y=-ax²+2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式，對(duì)稱軸x=-

2a

2(-a)

=1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，A（-1，0）、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱，可推出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，△ABC為直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．

解答：解：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式及拋物線的對(duì)稱性可知，
對(duì)稱軸為直線x=1，B（3，0）；

（2）連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴

CO

AO

=

BO

CO

，即

CO

1

=

3

CO

解得CO=

3

，即C（0，

3

）
設(shè)過(guò)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）
將C（0，

3

）代入得-3a=

3

，a=-

3

3

∴y=-

3

3

（x+1）（x-3），
即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線對(duì)稱軸公式，拋物線對(duì)稱性的運(yùn)用，待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法．綜合運(yùn)用了圓的對(duì)稱性，直角三角形中的相似三角形的問(wèn)題．