Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=90°，AB=BD，在BC上截取BE，使BE=BA，過點B作BF⊥BC于B，交AD于點F．連接AE，交BD于點G，交BF于點H．
（1）已知AD=，CD=2，求sin∠BCD的值；
（2）求證：BH+CD=BC．

Answer 1

（1）  （2）見解析

試題分析：（1）在直角三角形BCD中利用銳角三角函數的定義求解即可；
（2）過點A作AB的垂線交BF的延長線于M，利用全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的性質求解即可．
（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=BD，AD=，
則AB=BD=4，…（1分）
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，CD=2，BD=4，
所以BC=，…（2分）
sin∠BCD===．…（4分）
（2）證明：過點A作AB的垂線交BF的延長線于M．

∵∠DBA=90°，∴∠1+∠3=90°．
∵BF⊥CB于B，∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠1．…（5分）
∵BA=BD，∠BAM=∠BDC=90°，
∴△BAM≌△BDC．
∴BM=BC，AM=CD．…（7分）
∵EB=AB，∴∠7=∠5．
BH=BG．…（8分）
∴∠4=∠1+∠5=∠2+∠7=∠6．
∵∠8=∠4，∠MAH=∠6，
∴∠8=∠MAH，∴AM=MH=CD．…（9分）
∴BC=BM=BH+HM=BH+CD．      …（10分）
其他解法，參照給分．
點評：本題考查梯形、全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的知識，是一道小的綜合題，注意對這些知識的熟練掌握和靈活運用．