Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，邊長為10，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，
（1）設(shè)AD為x，△ADF的面積為y，當(dāng)x為何值時，△ADF的面積最大，最大面積是多少？
（2）當(dāng)x為何值時，△ADF是直角三角形？

Answer 1

解：（1）∵AD為x，AD=BE=CF，
∴AF=10-x，
過F作AB的垂線，垂足為H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，則FH=AF×sin60°=（10-x）×，
∴y=（10-x）×=-+x，
∴x=-==5，
y===，
綜上，當(dāng)x=5，△ADF的面積最大，最大面積是；

（2）①如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：FD²+AD²=AF²，
則+x²=（10-x）²，
解得：x₁=-10（舍去），x₂=；
②如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：FD²+AF²=AD²，
則+（10-x）²=x²，
解得，x₁=20（舍去），x₂=；
綜上，當(dāng)x=或時，△ADF是直角三角形．
分析：（1）過F作AB的垂線，垂足為H，可得FH=AF×sin60°=（10-x）×，△ADF的面積為y=-+5x，根據(jù)二次函數(shù)的最值公式，即可求出當(dāng)x為何值時，△ADF的面積最大值；
（2）①△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，則FD²+AD²=AF²，②△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，則FD²+AF²=AD²，根據(jù)勾股定理列方程，解答出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的最值、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識，注意（2）中分兩種情況討論解答．