Question

如圖△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：
（1）△ACE≌△DCB；（2）CM=CN；（3）MN∥AB；（4）AC=DN，
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：探究型

分析：先根據(jù)等邊三角形的性質得CA=CD，CE=CB，∠ACD=60°，∠BCE=60°，則利用平角的定義得∠DCE=60°，所以∠ACE=∠DCB=120°，于是可根據(jù)“SAS”判斷△ACE≌△DCB；再利用全等的性質得∠AEC=∠CBD，然后根據(jù)“ASA”可判斷△CBN≌△CEM，則CN=CM；解著證明△CMN為等邊三角形得到∠CMN=60°，則∠ACM=∠CMN，根據(jù)平行線的判定得到MN∥AB；在△DCN中，∠DCN=60°，∠DNC＞60°，根據(jù)三角形邊角關系得到DC＞DN，所以AC＞DN．

解答：解：∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=60°，∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE和△DCB中，

CA=CD ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；所以（1）正確
∴∠AEC=∠CBD，
在△CBN和△CEM中，

∠CBN=∠CEM CB=CE ∠BCN=∠ECM

，
∴△CBN≌△CEM（ASA），
∴CN=CM，所以（2）正確；
∵∠MCN=60°，
∴△CMN為等邊三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠ACM=∠CMN，
∴MN∥AB，所以（3）正確；
在△DCN中，∠DCN=60°，∠DNC＞∠NCB，即∠DNC＞60°，
∴∠DNC＞∠DCN，
∴DC＞DN，
∴AC＞DN，所以（4）錯誤．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．