Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+n的圖象分別交x軸、y軸與A、C兩點(diǎn)．且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），OC=3OA，直線MN經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）且與x軸垂直，
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）將y=kx+n向下平移m個(gè)單位，設(shè)平移后的直線與y軸交于點(diǎn)D，與直線MN交于點(diǎn)E．
①當(dāng)m=

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3

時(shí)，判斷四邊形ADEC的形狀，說明理由；
②四邊形ADEC能否為菱形？若能，直接寫出移動(dòng)的單位長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），OC=3OA求出A點(diǎn)坐標(biāo)，把AC兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+n即可得出k、n的值，故可得出一次函數(shù)的解析式；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出m=

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時(shí)直線的解析式，求出DE兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
②設(shè)直線移動(dòng)m個(gè)單位長(zhǎng)度四邊形ADEC為菱形，再用m表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），OC=3OA，
∴A（1，0），
∵

n=3 k+n=0

，
解得

n=3 k=-3

．
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-3x+3；

（2）①∵一次函數(shù)的解析式為y=-3x+3，
∴向下平移

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3

個(gè)單位時(shí)的解析式為y=-3x-

1

3

，
∴D（0，-

1

3

），E（-1，

8

3

），
∵直線DE由直線AC平移而來，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（-

1

3

-

8

3

）²=10，
∴AC=DE，
∴四邊形ADEC是平行四邊形；
②能．
設(shè)直線移動(dòng)m個(gè)單位長(zhǎng)度四邊形ADEC為菱形，
∵一次函數(shù)的解析式為：y=-3x+3，
∴移動(dòng)后直線的解析式為y=-3x+3-m，
∵平移后的直線與y軸交于點(diǎn)D，與直線MN交于點(diǎn)E，
∴D（0，3-m），E（-1，6-m），
∵∵直線DE由直線AC平移而來，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（3-m-6+m）²=10，
∴AC=DE，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∵四邊形ADEC為菱形，
∴CE=AC，即CE²=AC²=10，
∵C（0，3），E（-1，6-m），
∴CE²=1²+（3-6+m）²=10，解得m=6或m=0，
∴當(dāng)直線向下或向上移動(dòng)6個(gè)單位時(shí)，四邊形ADEC為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到平行四邊形及菱形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．