Question

已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．

（1）求證：AC•AD=AB•AE；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當(dāng)BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【考點】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進而證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；

（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據(jù)已知求得∠OBD=30°，進而求得∠BAC=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長．

【解答】（1）證明：連接DE，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∴AC•AD=AB•AE；

（2）解：連接OD，

∵BD是⊙O的切線，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

【點評】本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，30°的直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．