Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形OAB，點P是x軸上一動點 （點P在點A的右側(cè)），以線段BP為邊作等邊三角形BPQ．設(shè)點Q的坐標為（x，y），則y與x之間的關(guān)系式是

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：

分析：分兩種情況：
①當Q在x軸上方時，由△OAB和△BPQ都為等邊三角形，等邊三角形的邊長相等，且每一個內(nèi)角都為60°，得到∠OBA=∠QBP，等號兩邊都加上∠ABP，得到∠OBP=∠ABQ，根據(jù)“SAS”得到△OBP≌△ABQ，即可得到∠BAQ=∠BOP，從而求得∠QAP=60°，通過解直角三角形即可求得y與x之間的關(guān)系式；
②當Q在x軸下方時，由△OAB和△BPQ都為等邊三角形，等邊三角形的邊長相等，且每一個內(nèi)角都為60°，得到∠OBA=∠QBP，等號兩邊都減去∠ABP，得到∠BOQ=∠BAP，根據(jù)“SAS”得到△OBQ≌△ABP，即可得到∠BOQ=∠BAP，進而求得∠NOQ=60°，通過解直角三角形即可求得y與x之間的關(guān)系式．

解答：解：①當Q在x軸上方時，如圖1，連接AQ，作QN⊥x軸于N，
∵△OAB和△BPQ都為等邊三角形，
∴OB=AB，BP=BQ，
∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA+∠ABP=∠QBP+∠ABP，
∴∠OBP=∠ABQ，
在△OBP和△ABQ中

OB=AB ∠OBP=∠ABQ BP=BQ

∴△OBP≌△ABQ（SAS），
∴∠BAQ=∠BOP=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QAP=60°，
在直角三角形AQN中，tan60°=

QN

AN

，
∴

QN

x-2

=

3

則y=QN=

3

（x-2），
∴y與x之間的關(guān)系式是：y=

3

x-2

3

；
②當Q在x軸下方時，如圖2，連接OQ，作QN⊥x軸于N，
∵△OAB和△BPQ都為等邊三角形，
∴OB=AB，BP=BQ，
∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA-∠ABP=∠QBP-∠ABP，
∴∠OBQ=∠ABP，
在△OBQ和△ABP中，

OB=AB ∠OBQ=∠ABP BP=BQ

∴△OBQ≌△ABP（SAS），
∴∠BOQ=∠BAP，
∵∠BAP=∠AOB+∠ABO=120°，
∴∠BOQ=120°，
又∵∠BOA=60°，
∴∠NOQ=60°，
在直角三角形OQN中，tan60°=

QN

ON

，
∴

QN

x

=

3

，
則y=-QN=-

3

x，
∴y與x之間的關(guān)系式是：y=-

3

x；
綜上，y與x之間的關(guān)系式是y=

3

x-2

3

或y=-

3

x．
故答案為y=

3

x-2

3

或y=-

3

x．

點評：此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．求得三角形全等是本題的關(guān)鍵．