Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)．
（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ是等腰直角三角形？
（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于3cm²？
（3）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：（1）使△PQB為等腰三角形，則應(yīng)有PB=BQ，就應(yīng)有BA-AP=BQ，故設(shè)x秒后△PQB為等腰三角形，有PB=6-x=2x=BQ，解方程后可求解．
（2）設(shè)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，y秒后，此時(shí)，AP=ycm，PB=（6-y）cm，BQ=2ycm，S_△PBQ=

1

2

×PB×BQ，然后根據(jù)已知條件可列出方程，求出答案即可．
（3）此題實(shí)際上是求P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm²．解法同（2）．

解答：解：（1）設(shè)x秒后△PQB為等腰直角三角形，
由題意得6-x=2x
解得x=2．
答：經(jīng)過(guò)2秒△PQB為等腰三角形．

（2）設(shè)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，y秒后△PBQ面積為3cm²，
則

1

2

•（6-y）•2y=3，
解得y₁=3+

6

（不合題意，舍去），y₂=3-

6

，
所以P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，3-

6

秒后△PBQ面積為3cm²；

（3）S_△ABC=

1

2

×6×8=24（cm²）．
∵四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，
∴△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一．
設(shè)設(shè)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，z秒后△PBQ面積為8cm²，
則

1

2

•（6-z）•2z=8，
解得z₁=2，z₂=4，
經(jīng)檢驗(yàn)，z₁=2，z₂=4均符合題意．
所以P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，2秒或4秒后四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定；通過(guò)列方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．此題首先把PB，PQ用含x（y、z）代數(shù)式表示，然后利用三角形面積公式即可列方程求解．但應(yīng)注意考慮解的合理性，即考慮解的取舍．