Question

已知拋物線的頂點是C (0，a) (a>0，a為常數(shù))，并經(jīng)過點(2a，2a)，點D（0，2a）為一定點.
(1)求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；
(2)設(shè)點P是拋物線任意一點，過P作PH⊥x軸，垂足是H，求證：PD = PH；
(3)設(shè)過原點O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB，且S_△ABD = 4，求a的值.

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=kx²+a                     (1分)
∵點D（2a，2a）在拋物線上，
4a²k+a = 2a    ∴k =                         (3分)
∴拋物線的解析式為y= x²+a                 （4分）
（2）設(shè)拋物線上一點P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，在Rt△GDP中，
由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²    
                                                           (5分) 
∵y= x²+a ∴x² = 4a´ (y– a)= 4ay– 4a²     (6分)
∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²
∴PD = PH 
（3）過B點BE ⊥x軸，AF⊥x軸.
由（2）的結(jié)論：BE=DB AF=DA
∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO
∴B是OA的中點，
∴C是OD的中點，
連結(jié)BC
∴BC= = = BE = DB                 (9分)
過B作BR⊥y軸，
∵BR⊥CD  ∴CR=DR，OR= a + = ，
∴B點的縱坐標(biāo)是，又點B在拋物線上，
∴ = x²+a  ∴x² =2a²
∵x>0     ∴x = a
∴B (a， )                          (10分)
AO = 2OB，∴S_△ABD=S_△OBD = 4
所以，´2a´a= 4
∴a²=" 4  " ∵a>0 ∴a =" 2              " (12分)

解析