在平面直角坐標(biāo)系中(單位長度:1cm),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0),(2,0),點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿折線AOy運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以1cm/s的速度沿折線BOy運(yùn)動(dòng).
(1)在運(yùn)動(dòng)開始后的每一時(shí)刻一定存在以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形嗎?如果存在,那么以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形相似嗎?以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形會(huì)同時(shí)成為等腰直角三角形嗎?請分別說明理由.
(2)試判斷時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑的圓與以點(diǎn)B為圓心、BQ半徑的圓的位置關(guān)系;除此之外⊙A與⊙B還有其他位置關(guān)系嗎?如果有,請求出t的取值范圍.
(3)請你選定某一時(shí)刻,求出經(jīng)過三點(diǎn)A、B、P的拋物線的解析式.
【答案】分析:(1)①當(dāng)P、Q在y軸運(yùn)動(dòng)時(shí),才能夠成△AOP和△BOQ,因此當(dāng)t≤2時(shí),構(gòu)不成三角形.當(dāng)t>2時(shí),可構(gòu)成以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形.
兩三角形相似,這兩個(gè)三角形中,已知了一組直角,而通過計(jì)算不難的這兩個(gè)直角三角形的直角邊也對應(yīng)成比例,因此兩三角形相似.
②由于兩三角形相似,因此兩者一定會(huì)同時(shí)成為等腰直角三角形,要使兩三角形成為等腰直角三角形,以三角形OAP為例:OA=OP=4,因此t=4.即可當(dāng)t=4s時(shí),兩三角形同時(shí)成為等腰直角三角形.
(2)①可計(jì)算出當(dāng)t=2+4時(shí)AP,BQ的長即兩圓的半徑長,然后比較兩圓的半徑和圓心距即AB的距離即可判斷出兩圓的位置關(guān)系.
②同①可根據(jù)兩圓的半徑長即AP、BQ的長和圓心距AB的長來求出不同的圓與圓的位置關(guān)系時(shí),t的取值范圍.
解答:解:(1)①不一定.例如:當(dāng)t≤2s時(shí),點(diǎn)A、O、P與點(diǎn)B、O、Q都不能構(gòu)成三角形.
②當(dāng)t>2s時(shí),即當(dāng)點(diǎn)P、Q在y軸的正半軸上時(shí),△AOP∽△BOQ.
這是因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190840503740289/SYS201311011908405037402026_DA/1.png">,,∠AOP=∠BOQ=90度.
③會(huì)成為等腰直角三角形.
這是因?yàn)椋寒?dāng)OA=OQ=4時(shí),OA+OQ=8,即當(dāng)t=4s時(shí),△AOP為等腰直角三角形.
同理可得,當(dāng)t=4s時(shí),△BOQ為等腰直角三角形.
(2)當(dāng)t=(2+4)s時(shí),OP=2(2+4)-4=8cm,
∴AP==12(cm),
同理可得BQ=6cm,
∴AB=AP-BQ,
∴此時(shí)⊙A與⊙B內(nèi)切.
②有.當(dāng)外離時(shí),0<t<2;
當(dāng)外切時(shí),t=2;
當(dāng)相交時(shí),2<t<2+4;
當(dāng)內(nèi)含時(shí),t>2.
(3)當(dāng)t=3s時(shí),OP=2×3-4=2(cm),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2),
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、P的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

解得
故所求解析式為y=-x2-x+2.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

28、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到x軸的距離為8,到y(tǒng)軸的距離為6,且點(diǎn)P在第二象限,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
(-6,8)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

10、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(a,-3)與點(diǎn)P2(4,b)關(guān)于y軸對稱,則a+b=
-7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點(diǎn).
(1)請?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡捷的解題策略?請說出你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案