Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線(xiàn)OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標(biāo)分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數(shù)式表示x₂－x₁，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；

（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線(xiàn)段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線(xiàn)段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線(xiàn)PQ、直線(xiàn)AB、x軸圍成的三角形與直線(xiàn)PQ、直線(xiàn)AB、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

   

Answer 1

（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）．

（2） 梯形O₁A₁B₁C₁的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．

當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（6，3）．

（3）設(shè)直線(xiàn)AB與PQ交于點(diǎn)G，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，直線(xiàn)PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個(gè)公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的夾角，為定值．

在△GAF中，∠GAF是直線(xiàn)AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時(shí)∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于，，所以．解得．

 

圖3                               圖4