Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過(guò)點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標(biāo)分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數(shù)式表示－，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；

（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

                                                    

                                                    

Answer 1

解：（1）對(duì)稱軸：直線

解析式：或

                  頂點(diǎn)坐標(biāo)：M（1，）

            （2）由題意得       

3

得：①

  

得：  ②

把②代入①并整理得：(S＞0) (事實(shí)上，更確切為S＞6)

當(dāng)時(shí)， 解得：(注：S＞0或S＞6不寫(xiě)不扣

分)  把代入拋物線解析式得       ∴點(diǎn)A₁（6，3）

（3）存在

           解法一：易知直線AB的解析式為，可得直線AB與對(duì)稱軸的

交點(diǎn)E的坐標(biāo)為

∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t

     當(dāng)∥時(shí)，

                得

    下面分兩種情況討論: 設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G

①當(dāng)時(shí)，如圖1-1        ∵△FQE∽△FAG  ∴∠FGA＝∠FEQ

               ∴∠DPQ＝∠DEB   易得△DPQ∽△DEB  ∴

∴   得   ∴(舍去)

②     當(dāng)時(shí)，如圖1-2

∵△FQE∽△FAG  ∴∠FAG＝∠FQE

                ∵∠DQP＝∠FQE    ∠FAG＝∠EBD

∴∠DQP＝∠DBE   易得△DPQ∽△DEB

       ∴

     ∴，    ∴

                           ∴當(dāng)秒時(shí)，使直線、直線、軸圍成的三角形與直線、直線、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似

                            (注:未求出能得到正確答案不扣分)

                             解法二：可將向左平移一個(gè)單位得到,再用解法一類似的方法可求得

                                     , ,

                                    ∴