Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D是AB中點，E是BC邊上的動點，圓O過C、D、E三點，與AC邊交于點F．
（1）求線段EF長的最小值；
（2）當(dāng)圓O與AB邊相切時，求圓O的半徑；
（3）求線段CF長的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先利用勾股定理計算出AB=10，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=

1

2

AB=5，由于∠FCE=90°，根據(jù)圓周角定理得EF為⊙O的直徑，然后利用CD為定值確定⊙O的最小直徑為5，由此得到EF的最小值；
（2）如圖1，作CH⊥AB于H，OP⊥CD于P，利用面積法計算出CH=

24

5

，再根據(jù)垂徑定理得到PD=

1

2

CD=

5

2

，然后利用切線的性質(zhì)得到OD⊥AB，則OD∥CH，根據(jù)平行線的性質(zhì)有∠1=∠2，于是可證明Rt△ODP∽Rt△DCH，再利用相似比即可計算出OD的長；
（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)由∠ECF=90°得到∠EDF=90°，即DE⊥DF，利用圖形得到當(dāng)點E在B點時，CF最短；當(dāng)點C在E點時，CF最長，接著分別計算CF的最小和最大值：如圖2，點E在B點，則DF⊥AB，根據(jù)相似三角形的判定易得△ADF∽△ACB，則利用相似比可計算出AF=

25

4

，則此時CF=AC-AF=

7

4

；如圖3，點C在E點，連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理由∠EDF=90°得到CF為⊙的直徑，則證明△COD∽△CDA，利用相似比可計算出OC=

25

8

，則CF=2OC=

25

4

，所以

7

4

≤CF≤

25

8

．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵D是AB中點，
∴CD=

1

2

AB=5，
∵∠FCE=90°，
∴EF為⊙O的直徑，
而C點與點D為定點，
∴當(dāng)CD為⊙O的直徑時，⊙O的直徑最小，
∴線段EF長的最小值為5；
（2）如圖1，作CH⊥AB于H，OP⊥CD于P，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

6×8

10

=

24

5

，
∵OP⊥CD，
∴PD=PC=

1

2

CD=

5

2

，
∵圓O與AB邊相切，點D在⊙O上，
∴點D為切點，
∴OD⊥AB，
∴OD∥CH，
∴∠1=∠2，
∴Rt△ODP∽Rt△DCH，
∴

OD

CD

=

DP

CH

，即

OD

5

=

5 2

24 5

，
∴OD=

125

48

，
即圓O的半徑為

125

48

；
（3）∵∠ECF=90°，
∴∠EDF=90°，即DE⊥DF，
∴當(dāng)點E在B點時，CF最短；當(dāng)點C在E點時，CF最長，
如圖2，點E在B點，則DF⊥AB，
∵∠DAF=∠CAB，
∴△ADF∽△ACB，
∴

AF

AB

=

AD

AC

，即

AF

10

=

5

8

，解得AF=

25

4

，
∴CF=AC-AF=

7

4

；
如圖3，點C在E點，連結(jié)OD，
∵∠EDF=90°，
∴CF為⊙的直徑，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DA=DC=5，
∴∠ACD=∠CAD，
∴∠ODC=∠CAD，
∴△COD∽△CDA，
∴

OC

CD

=

CD

CA

，即

OC

5

=

5

8

，解得OC=

25

8

，
∴CF=2OC=

25

4

，
∴線段CF長的取值范圍為

7

4

≤CF≤

25

8

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．