Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點A，與x軸交于點B，AC⊥x軸于點C，tan∠ABC=

3

4

，AB=10，OB=OC．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的另一交點為D，連接OA、OD，求△AOD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)AC⊥x軸于點C可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)題干條件求出AC和BC的值，即可求出A和B兩點的坐標，又知A、B在直線y=kx+b上，列出二元一次方程組，求出k和b；
（2）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，求出交點坐標，然后根據(jù)S_△AOD=S_△AOB+S_△DOB求得面積的值．

解答：解：（1）∵AC⊥x軸于點C，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

CB

=

3

4

，
設AC=3a，BC=4a，
則AB=

AC2+BC2

=5a，
∴5a=10解得：a=2，
∴AC=6，BC=8，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=4，
∴A（-4，6）B（4，0），
將A（-4，6）B（4，0）代入y=kx+b，
∴

-4k+b=6 4k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
∴直線AB的解析式為：y=-

3

4

x+3，
將A（-4，6）代入y=

m

x

(m≠0)，
得：6=-

m

4

，
解得：m=-24，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

24

x

；

（2）聯(lián)立

y=- 3 4 x+3 y=- 24 x

，
解得：

x1=-4 y1=6

，

x2=8 y2=-3

，
∴D（8，-3），
∴S_△AOD=S_△AOB+S_△DOB=

1

2

•OB•|y_A|+

1

2

•OB•|y_D|=

1

2

×4×6+

1

2

×4×3=18．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題的知識點，解答本題的關鍵是進行數(shù)形結合進行解題，要熟練掌握反比例函數(shù)的性質，本題是一道比較不錯的習題．