【題目】已知拋物線 yax2 過點(2,2)

(1)直接寫出拋物線的解析式;

(2)如圖,△ABC 的三個頂點都在拋物線 上,且邊 AC 所在的直線解析式為yx+b,若 AC 邊上的中線 BD 平行于 y 軸,求的值;

(3)如圖,點 P 的坐標為(0,2),點 Q 為拋物線上 上一動點,以 PQ 為直徑作⊙M,直線 yt 與⊙M 相交于 HK 兩點是否存在實數(shù) t,使得 HK 的長度為定值?若存在,求出 HK 的長度;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y= ;(2)16;(3)見解析.

【解析】

(1)把點(2,2)坐標代入 y=ax2 即可求解;

(2)把 y=x+b y=x2 :x2﹣2x﹣2b=0,設(shè) A、C 兩點的坐標為(x1,y1、(x2,y2,則:x1+x2=2,x1x2=﹣2b,可以求出點 D坐標、B坐標,即可求解;;

(3)設(shè)點 Q坐標為(a,a2,點 M的坐標為,a2+1),圓的半徑為 r, r2+(a2﹣1)2a4a2+1, M 到直線 y=t 的距離為 d, HK=2=2,當=0,HK為常數(shù),t=,HK=

(1)把點(2,2)坐標代入y=ax2,解得:a=

∴拋物線的解析式為y=x2;

(2)y=x+by=x2得:x2﹣2x﹣2b=0,

設(shè)A、C 兩點的坐標為(x1,y1)、(x2,y2),則:x1+x2=2,x1x2=﹣2b,

D坐標為(,),即D(1,﹣b),B坐標為(1,),

AC2=[(x2﹣x1)]2=16b+8,

BD=+b,

=16;

(3)設(shè)點Q坐標為(a,a2),

P的坐標為(0,2),由 P、Q坐標得點M的坐標為(,a2+1),

設(shè)圓的半徑為 r,P(0,2)、M 兩點坐標可得r2+(a2﹣1)2a4﹣a2+1,

設(shè)點M到直線y=t的距離為d,則d2=(a2+1﹣t)=a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t,

HK=2=2

=0 時,HK為常數(shù),t=,

HK=

練習(xí)冊系列答案
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