Question

如圖，△ABC中，AD、CE相交于G，若點(diǎn)G是△ABC 的重心．
（1）求證：△BDE∽△BCA；
（2）若∠ACB=90°，（BC-6）²=0，求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等即可得三角形相似；
（2）由題中條件可得AC，BC的長(zhǎng)，再由△BDE∽△BCA，得出CD的長(zhǎng)，再由勾股定理求解AD的長(zhǎng)，即可求解DG的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴點(diǎn)D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，即BE=AE，BD=CD，
∴=，又∠B為公共角，
∴△BDE∽△BCA．

（2）解：∵（BC-6）²=0
∴AD、CE是△ABC的中線，
∴AC=3，CB=6
∴==
∵由（1）知AD是△ABC的中線
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴CD=3，
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°
∴AD==3，
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴DG=AD=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及重心、勾股定理的運(yùn)用，另外涉及數(shù)學(xué)上的算術(shù)平方根，偶次方根等問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握．