Question

設等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程x²-6x+a=0的兩根，當這樣的三角形只有一個時，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵方程x²-6x+a=0有實數(shù)根，
∴△=36-4a≥0，
（1）當△=0時，即△=36-4a=0，解得a=9，此時三角形為等邊三角形；
（2）當△＞0，即△=36-4a＞0時，解得a＜9，
設兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂）此時存在一個等腰三角形底邊為x₁，腰為x₂，此時不存在一個等腰三角形底邊為x₂，腰為x₁即最短兩邊（即兩腰）之和不大于最大邊（即底邊）即2x₁≤x₂，
由根與系數(shù)的關系可得，3x₁≤x₁+x₂=6，
∴x₁≤2，
∵x₁+x₂=6，x₁•x₂=a，
∴a=x₁•（6-x₁），
=6x₁-（x₁）²
=-（3-x₁）²+9
∴=-（3-x₁）²+9≤8，
∴當0＜a≤8，a=9時，三角形只有一個．
分析：由于方程x²-6x+a=0有兩個實數(shù)根，所以△≥0，當△=0時可直接求出a的值，此時三角形是等邊三角形；
當△＞0時可設兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），由三角形的三邊關系先判斷出不存在一個等腰三角形底邊為x₂，腰為x₁，再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可判斷出a的取值范圍．
點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系及三角形的三邊關系，在解（2）時先判斷出不存在一個等腰三角形底邊為x₂，腰為x₁是解答此題的關鍵．