Question

【題目】如圖所示，BC是圓O的直徑，點(diǎn)A，F(xiàn)在圓O上，連接AB，BF．

（1）如圖1，若點(diǎn)A、F把半圓三等分，連接OA，OA與BF交于點(diǎn)E．求證：E為OA的中點(diǎn)；
（2）如圖2，若點(diǎn)A為弧 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD與BF交于點(diǎn)G．求證：AG=BG．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A、F為半圓三等分點(diǎn)，

∴∠AOB= ×180°=60°，

∵OA=OB，

∴△OAB為等邊三角形．

∵A為弧BF中點(diǎn)，

∴OA⊥BF，

∴BE平分OA，

∴E為OA中點(diǎn)

（2）證明：連接AF，AC，

∵A為弧BF中點(diǎn)，

∴ = ，

∴∠ABF=∠F．

∵ = ，

∴∠C=∠F，

∴∠C=∠ABF．

∵BC為圓O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°．

∵AD⊥BC，

∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠ABG=∠BAG，

∴AG=BG．

【解析】（1）先求出∠AOB的度數(shù)，故可判斷出△OAB為等邊三角形，再由A為弧BF中點(diǎn)可得出OA⊥BF，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）連接AF，AC，根據(jù)弧相等可得出∠C=∠ABF，由圓周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABG=∠BAG，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半即可以解答此題．