Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，

3

），C、D分別為x軸、y軸的正半軸上的動點，將△OCD沿CD翻折，使點O落到直線AC上的點B處（如圖1）．
 
（1）如圖2，若點B與點A重合，求OC的長；
（2）如圖3，若點B不與點A重合，以A為圓心，AB為半徑作⊙A，設(shè)⊙A的半徑長為r，OC的長為l．
（I）當(dāng)l=1時，求四邊形ACOD的面積；
（Ⅱ）當(dāng)l=3r，且2≤l≤4時，判斷⊙A直線CD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥x軸于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OC=AC，設(shè)OC=x，則CH=2-x，AC=x，然后在Rt△ACH利用勾股定理可計算出x；
（2）（I）作AH⊥x軸于H，當(dāng)l=1時，CB=CO=1，CH=1，利用勾股定理計算出AC=2，則∠CAH=30°，∠ACH=60°，AB=AC-BC=1，利用鄰補角的定義得到∠DOH=120°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得到∠DCO=∠DCB=60°，∠DBC=∠DOC=90°，于是可判斷△DAC為等邊三角形，則∠DAC=60°，然后判斷四邊形AHOD為矩形，再利用四邊形ACOD的面積=S_矩形AHOC-S_△ACH進行計算即可；
（Ⅱ）當(dāng)l=3r，且2≤l≤4時，即

2

3

≤r≤

4

3

，如圖4，作AE⊥DC于E，作AH⊥x軸于H，先根據(jù)折疊性質(zhì)得到∠DBC=∠DOC=90°，CB=CO=3r，再根據(jù)切線的判定定理得到⊙A與DB相切，則AB=r，AC=2r，接著在Rt△AHC中利用勾股定理計算出r=1，于是根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系判斷∠ACH=60°，所以∠DCO=∠DCB=30°，然后計算AE的長，最后根據(jù)切線的判定方法判斷⊙A直線CD的位置關(guān)系．

解答：解：（1）作AH⊥x軸于H，如圖2，
∵點A的坐標(biāo)為（2，

3

），
∴OH=2，AH=

3

，
∵△OCD沿CD翻折，使點O落到直線AC上的點B處，且點B與點A重合，
∴OC=AC，
設(shè)OC=x，則CH=2-x，AC=x，
在Rt△ACH，
∵AC²=CH²+AH²，
∴x²=（2-x）²+（

3

）²，解得x=

7

4

，
即OC的長為

7

4

；

（2）（I）作AH⊥x軸于H，如圖3，
當(dāng)l=1時，CB=CO=1，CH=OH-OC=1，
在Rt△ACH中，AH=

3

，CH=1，
∴AC=

AH2+CH2

=2，
∴∠CAH=30°，∠ACH=60°，AB=AC-BC=1，
∴∠DOH=120°，
∵△OCD沿CD翻折，使點O落到直線AC上的點B處，
∴∠DCO=∠DCB=60°，∠DBC=∠DOC=90°，
∴DB垂直平分AC，
∴△DAC為等邊三角形，
∴∠DAC=60°，
∴∠DAH=90°，
∴四邊形AHOD為矩形，
∴四邊形ACOD的面積=S_矩形AHOC-S_△ACH=2×

3

-

1

2

×1×

3

=

3 3

2

；
（Ⅱ）⊙A直線CD相切．理由如下：
當(dāng)l=3r，且2≤l≤4時，即

2

3

≤r≤

4

3

，如圖4，作AE⊥DC于E，作AH⊥x軸于H，
∵△OCD沿CD翻折，使點O落到直線AC上的點B處，
∴∠DBC=∠DOC=90°，CB=CO=3r，
∴⊙A與DB相切，
∴AB=r，
∴AC=2r，
在Rt△AHC中，CH=3r-2，AH=

3

，
∵AC²=CH²+AH²，
∴（2r）²=（3r-2）²+（

3

）²，解得r₁=1，r₂=

7

5

，
∴r=1，
∴AC=2，CH=1，
∴∠ACH=60°，
∴∠DCO=∠DCB=30°，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=2，
∴AE=1，
∴CD與⊙A相切．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和折疊的性質(zhì)；會利用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進行幾何運算．