Question

定義：任何一個一次函數(shù)y=px+q，取出它的一次項系數(shù)p和常數(shù)項q，有序數(shù)組[p，q]為其特征數(shù)．例如：y=2x+5的特征數(shù)是[2，5]，同理，[a，b，c]為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)．
（1）直接寫出二次函數(shù)y=x²-5x的特征數(shù)是：

 

．
（2）若特征數(shù)是[2，m+1]的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求m的值；
（3）以y軸為對稱軸的二次函數(shù)拋y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，m）、B（n，1）兩點（其中m＞0，n＜0），連結OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S_△AOB=10，求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)的特征數(shù)，進而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出一次函數(shù)y=2x+m+1為正比例函數(shù)，得出m+1=0，進而得出答案；
（3）首先得出△CBO∽△DOA，即可得出

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，進而求出BO，AO的長，即可得出m，n的值，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可．

解答：解：（1）∵[a，b，c]為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，
∴二次函數(shù)y=x²-5x的特征數(shù)是：[1，-5，0]；
故答案為：[1，-5，0]；

（2）特征數(shù)是[2，m+1]的一次函數(shù)為y=2x+m+1．
∵一次函數(shù)y=2x+m+1為正比例函數(shù)，
∴m+1=0．
∴m=-1．

（3）∵A（2，m）、B（n，1），作AD⊥x軸于點D，BC⊥x軸于點C．
∴CO=-n，BC=1，OD=2，AD=m，
∵OA⊥OB，
∴∠COB+∠AOD=90°，
又∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠COB=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

1

2

=

BO

AO

，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10．
即BO•OA=20，
解得：BO=

10

，AO=2

10

．
由勾股定理得：CO=3，AD=6．
∵m＞0，n＜0，
∴m=6，n=-3．
∴A坐標為（2，6），B坐標為（-3，1）．
設拋物線解析式為：y=ax²+c，
故

4a+c=6 9a+c=1

，
解得：

a=-1 c=10

，
故拋物線解析式為：y=-x²+10，
則二次函數(shù)y=-x²+10的特征數(shù)為[-1，0，10]．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及新定義和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出A，B點坐標是解題關鍵．