Question

關于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法是歐幾里得證法．如圖所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c²，a²，b²．
（1）敘述勾股定理并結(jié)合圖形寫出已知、求證；
（2）根據(jù)圖中所添加的輔助線證明勾股定理．

Answer 1

考點：勾股定理的證明

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)題意寫出已知與求證即可；
（2）過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE，由∠GAC=∠BAE=90°，得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABG與三角形ACE全等，得到三角形ACE與三角形AGB全等，利用三角形面積公式及正方形面積公式變形得到矩形AEML面積等于b²，同理得到矩形BDML面積等于a²，再利用正方形ABDE面積等于矩形AEML面積加上矩形BDML面積，即可得證．

解答：解：（1）已知：如圖所示，在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c²，a²，b²，
求證：a²+b²=c²，
（2）證明：過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE，
∵∠GAC=∠BAE=90°，
∴∠GAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB，即∠GAB=∠CAE，
在△ACE和△AGB中，

AE=AB ∠CAE=∠BAG AC=AG

，
∴△ACE≌△AGB（SAS），
∵S_△ACE=

1

2

AE•EM=

1

2

S_矩形AEML，S_△ABG=

1

2

AG•GF=

1

2

S_{正方形ACFG}=

1

2

b²，
∴S_矩形AEML=b²，
同理S_矩形BLMD=a²，
∴S_{正方形ABDE}=S_矩形AEML+S_矩形BLMD=a²+b²，
則a²+b²=c²．

點評：此題考查了勾股定理的證明，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．