如圖①,點A′,B′的坐標(biāo)分別為(2,0)和(0,-4),將△A′B′O繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△ABO,點A′的對應(yīng)點是點A,點B′的對應(yīng)點是點B.
(1)寫出A,B兩點的坐標(biāo),并求出直線AB的解析式;
(2)將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊,(點C在x軸上,點D在AB上,點D不與A,B重合)如圖②,使點B落在x軸上,點B的對應(yīng)點為點E.設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,0),△CDE與△ABO重疊部分的面積為S.
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍);
②當(dāng)x為何值時,S的面積最大,最大值是多少?
③是否存在這樣的點C,使得△ADE為直角三角形?若存在,直接寫出點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到OA=OA′,OB=OB′,則A,B的坐標(biāo)就可以得到,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式.
(2)①OB=4,C點的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)C在OB的中點或在中點與B之間時,重合部分是△CDE;當(dāng)C在OB的中點與O之間時,重合部分是梯形,就可以得到函數(shù)解析式.
②求出S與x之間的函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以得到面積的最值.
③分△ADE以點A為直角頂點和△ADE以點E為直角頂點,兩種情況進(jìn)行討論.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,求出OE的長,就可以得到C點的坐標(biāo).
解答:解:
(1)A(0,2),B(4,0)(2分)
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b,則有
解得
∴直線AB的解析式為(3分)

(2)i)①點E在原點和x軸正半軸上時,重疊部分是△CDE.
則S△CDE=
=
當(dāng)E與O重合時,
∴2≤x<4(4分)
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時,設(shè)DE與y軸交于點F,則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
,

又∵OE=4-2x


=(5分)
當(dāng)點C與點O重合時,點C的坐標(biāo)為(0,0)
∴0<x<2(6分)
綜合①②得(7分)
ii)①當(dāng)2≤x<4時,
∴對稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上,
∴在2≤x<4中,S隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=2時,S的最大值=(8分)
②當(dāng)0<x<2時,
∴對稱軸是直線
∵拋物線開口向下∴當(dāng)時,S有最大值為(9分)
綜合①②當(dāng)時,S有最大值為(10分)
iii)存在,點C的坐標(biāo)為(,0)和(,0)(14分)
附:詳解:①當(dāng)△ADE以點A為直角頂點時,作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點E,
∵△AOE∽△BOA

∵AO=2∴EO=1
∴點E坐標(biāo)為(-1,0)
∴點C的坐標(biāo)為(,0)②當(dāng)△ADE以點E為直角頂點時
同樣有△AOE∽△BOA
∴EO=1∴E(1,0)
∴點C的坐標(biāo)(,0)
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有(,0)和(,0).
以上僅提供本試題的一種解法或解題思路,若有不同解法請參照評分標(biāo)準(zhǔn)予以評分.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,求函數(shù)的最值,以及相似三角形的對應(yīng)邊的比相等.
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2
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1
2
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7
2
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