Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120度．∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點(diǎn)D、E，CE、BD相交于點(diǎn)F．以下四個(gè)結(jié)論：①cos∠BFE=

1

2

；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結(jié)論一定正確的序號(hào)數(shù)是______．

Answer 1

∵∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=

1

2

（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=

1

2

，
∴即cos∠BFE=

1

2

；故①正確；
∵∠BDC=∠A+

1

2

∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，則應(yīng)有∠BDC=∠BCA
應(yīng)有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時(shí)∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據(jù)題意，沒(méi)有條件可以說(shuō)明∠ABC是40°，
故②錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)F是△ABC內(nèi)心，作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點(diǎn)，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結(jié)論為①③．
故答案為：①③．