Question

如圖1某種三角形臺歷被放置在水平桌面上，其左視圖如圖2，其中點O是臺歷支架OA、OB的交點，同時又是臺歷頂端連接日歷的螺旋線圈所在圓的圓心．現(xiàn)測得OA=OB=14cm，CA=CB=4cm，∠ACB=120°．
（1）求點O到直線AB的距離；
（2）求張角∠AOB的大�。�
（3）現(xiàn)把某月的日歷從臺歷支架正面翻到背面（即OB與OA重合），求點B所經(jīng)歷的路徑長．
（參考數(shù)據(jù)：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，

46

≈6.78，π取3.14，所有結(jié)果精確到0.01，可使用科學計算器）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用

專題：

分析：（1）連接AB、OC，并延長OC交AB于點D，則OC垂直平分AB，在RT△ACD中根據(jù)正弦函數(shù)求得AD的長，在Rt△ADO中，根據(jù)根據(jù)勾股定理得到OD的長．
（2）在RT△AOD中，根據(jù)正弦函數(shù)可求∠AOC的度數(shù)，進而求得∠AOB的度數(shù)．
（3）根據(jù)弧長公式即可求得．

解答：
解：（1）連接AB、OC，并延長OC交AB于點D．
∵OA=OB，AC=BC，
∴有OC垂直平分AB，即
AD=BD，∠CDA=90°．
又∠ACB=120°，
∴∠ACD=60°．
從而在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACD，
∴AD=AC•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm）
故在Rt△AOD中，
∴AD=2

3

cm，AO=14cm，
得OD=

AO2-AD2

=

142-(2 3 )2

≈13.56cm
故點O到直線AB的距離約為13.56cm．

（2）由（1）知∠AOB=2∠AOD，且sin∠AOD=

AD

AO

=

2 3

14

≈0.246
∴∠AOD≈14.33°．
故∠AOB≈28.66°．
（3）∵∠AOB≈28.66°，
∴日歷從臺歷正面翻到背面所經(jīng)歷的圓心角為360°-28.66°=331.34°，
故，此時點B所經(jīng)歷的路徑長為

331.4×3.14×14

180

≈80.92（cm）．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形并求解．