Question

如圖，等邊△ABC的邊長為12，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=4，EM+CM的最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：連接BE，與AD交于點M．則BE就是EM+CM的最小值．
取CE中點F，連接DF．
∵等邊△ABC的邊長為12，AE=4，
∴CE=AC-AE=12-4=8，
∴CF=EF=AE=4，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DF是△BCE的中位線，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E為AF的中點，
∴M為AD的中點，
∴ME是△ADF的中位線，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=

4

3

BM．
在直角△BDM中，BD=

1

2

BC=6，DM=

1

2

AD=3

3

，
∴BM=

BD2+DM2

=3

7

，
∴BE=4

7

．
∵EM+CM=BE，
∴EM+CM的最小值為4

7

．
故答案為：4

7

．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．得出M點位置是解題關(guān)鍵．