Question

如圖，等邊△ABC的邊長為12，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=4，EM+CM的最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等邊三角形的性質

專題：

分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：連接BE，與AD交于點M．則BE就是EM+CM的最小值．
取CE中點F，連接DF．
∵等邊△ABC的邊長為12，AE=4，
∴CE=AC-AE=12-4=8，
∴CF=EF=AE=4，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DF是△BCE的中位線，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E為AF的中點，
∴M為AD的中點，
∴ME是△ADF的中位線，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=

4

3

BM．
在直角△BDM中，BD=

1

2

BC=6，DM=

1

2

AD=3

3

，
∴BM=

BD2+DM2

=3

7

，
∴BE=4

7

．
∵EM+CM=BE，
∴EM+CM的最小值為4

7

．
故答案為：4

7

．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用．得出M點位置是解題關鍵．