Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，D為AB中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上由點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度都是2cm/s，問經(jīng)過多少時(shí)間△BPD與△CQP全等？說明理由；

（2）若點(diǎn)P的速度比點(diǎn)Q的速度都慢2cm/s，則經(jīng)過多少時(shí)間△BPD與△CQP全等，并求出此時(shí)兩點(diǎn)的速度；

（3）若點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別以（2）中速度同時(shí)從B、C出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過多少時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，相遇點(diǎn)在△ABC的哪條邊上？并求出相遇點(diǎn)與點(diǎn)B的距離．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過3s△BPD與△CQP全等；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s時(shí)，△BPD與△CPQ全等，此時(shí)點(diǎn)P的速度為8cm/s，點(diǎn)Q的速度為10cm/s；（3）第一次相遇在AB邊上，此時(shí)相遇點(diǎn)與點(diǎn)B的距離8cm．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出∠B＝∠C，由點(diǎn)P、Q同速同時(shí)出發(fā)可得出BP＝CQ，結(jié)合全等三角形的判定定理可得出當(dāng)BD＝CP時(shí)△BPD與△CQP全等，進(jìn)而即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)P的速度為xcm/s，則點(diǎn)Q的速度為（x+2）cm/s，由BP≠CQ、∠B＝∠C結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得出BD＝CQ、BP＝CP＝8，進(jìn)而即可得出關(guān)于t、x的方程組，解之即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間結(jié)合點(diǎn)P、Q相遇，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之可求出t值，由點(diǎn)Q的路程＝點(diǎn)Q的速度×運(yùn)動(dòng)時(shí)間可求出點(diǎn)Q的路程，再結(jié)合CA、AB、BC的長(zhǎng)度，即可找出點(diǎn)P、Q第一次相遇時(shí)的位置，此題得解．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度都是2cm/s，

∴BP＝CQ，

∴當(dāng)BD＝CP時(shí)，△BPD與△CQP全等，即10＝16﹣2t，

解得t＝3，

∴經(jīng)過3s△BPD與△CQP全等．

（2）設(shè)點(diǎn)P的速度為xcm/s，則點(diǎn)Q的速度為（x+2）cm/s．

∵BP≠CQ，∠B＝∠C，

∴BD＝CQ，BP＝CP＝8，

∴ ，

解得：．

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s時(shí)，△BPD與△CPQ全等，此時(shí)點(diǎn)P的速度為8cm/s，點(diǎn)Q的速度為10cm/s．

（3）根據(jù)題意得：10t＝40+8t，

解得：t＝20，

∴Q的路程＝10×20＝200（cm），

∵200＝（20+20+16）×3+20+12，20﹣12＝8，

∴第一次相遇在AB邊上，此時(shí)相遇點(diǎn)與點(diǎn)B的距離8cm．