Question

【題目】如圖，，點(diǎn)、分別在、上，連接，、的平分線交于點(diǎn)，、的平分線交于點(diǎn)．

求證：四邊形是矩形．

小明在完成的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，得到四邊形．此時(shí)，他猜想四邊形是菱形．請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路．

小明的證明思路：由，，易證，四邊形是平行四邊形．要證□是菱形，只要證．由已知條件________，，可證，故只要證，即證，易證________，________，故只要證，易證，，________，故得，即可得證．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．

【解析】

（1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而求出四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法首先得出要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可.

（1）證明：∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH=∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°，

∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠EFG=∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線上，

∴∠AEB=180°，

即∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，

即∠GEH=90°

∴四邊形EGFH是矩形；

（2）解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，

要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證；

故答案為：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．