Question

已知：如圖，P是等邊△ABC外接圓的弧BC上一點，CP的延長線和AB的延長線相交于D點，連接BP．
求證：（1）∠D=∠CBP；（2）AC²=CP•CD．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°．
∴∠DBC=180°-∠ABC=120°．
∵四邊形ABPC為圓內接四邊形，
∴∠A+∠BPC=180°．
∴∠BPC=120°．
∴∠DBC=∠BPC=120°．
又∵∠BCP=∠DCB，
∴△BPC∽△DBC．
∴∠D=∠CBP．

（2）由（1）知△BPC∽△DBC，
∴．
又∵AC=BC，
∴AC²=CP•CD．
分析：由題意要證角相等，需證三角形相似，根據圓周角定理及等邊三角形性質得到相似條件；第二問根據第一問相似三角形條件得出相似比例，從而求解．
點評：此題主要考相似三角形的判定及相似三角形性質，還考查等邊三角形的性質，在圓中解題要分析各角之間的關系．