Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOC的頂點(diǎn)A（-1，3），∠ACO=90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．將Rt△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△A′OC′．設(shè)直線AA′與x軸交于點(diǎn)M、與y軸交于點(diǎn)N，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、M、N．解答下列問(wèn)題：
（1）求直線AA′的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PA′C′N成為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A′和A的坐標(biāo)代入直線的解析式即可求出結(jié)果．
（2）本題需先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再設(shè)出拋物線的解析式把點(diǎn)M、N、C的坐標(biāo)代入即可求出答案．
（3）本題需先畫(huà)出使四邊形PA′C′N成為直角梯形時(shí)點(diǎn)P所在的位置，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，3），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，1），
設(shè)直線AA′的解析式為y=kx+b（k≠0）
則

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為（5，0）（0，

5

2

）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
則

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在P₁點(diǎn)處時(shí)四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

5

2

，
∴P₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，

5

2

）
當(dāng)點(diǎn)P在P₂點(diǎn)處時(shí)四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，
∴P₂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，4）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，

5

2

）或（3，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要把二次函數(shù)的性質(zhì)和解析式求法與一次函數(shù)的性質(zhì)及解析式求法相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．