Question

解方程組：

x+y+z+u=8 x2+y2+z2+u2=20 xz+xu+yz+yu=16 xyzu=9

．

Answer 1

考點：高次方程

專題：

分析：首先觀察所給方程組的結(jié)構(gòu)特點，找出其中隱含的規(guī)律；求出xy=zu=3；進而求出x、y、z、u的值，問題即可解決．

解答：解：

x+y+z+u=8① x2+y2+z2+u2=20② xz+xu+yz+yu=16③ xyzu=9

，
由①²-②-2×③得：2xy+2zu=12，
∴xy+zu=6④；
∵（xy）（zu）=9⑤，
∴由④、⑤知xy、zu是方程x²-6x+9=0的兩個實數(shù)根，
解得：xy=zu=3；
由②+2xy+2zu得：（x+y）²+（z+u）²=32⑥，
由①得：x+y=8-（z+u），代入⑥式并解得：z+u=4，
∴x+y=8-4=4；
∴

x+y=4 xy=3

，
解得：x=1，y=3或x=3，y=1；
同理可求：z=1，u=3或z=3，u=1；
綜上所述，原方程組的解為：

x=3 y=3 z=1 u=1

或

x=3 y=1 z=1 u=3

或

x=1 y=3 z=3 u=1

或

x=1 y=1 z=3 u=3

．

點評：該命題主要考查了高次方程的求解問題；解決高次方程的一般策略是：化高次為低次，化多元為少元；靈活運用整式的乘法法則將所給的方程組將次、減元是解題的關(guān)鍵；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．