Question

如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE；F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交于點P．

（1）若n=1，則=　　　　　　，=　　　　　　；

（2）若n=2，求證：8AP=3PE；

（3）當n=　　　　　　時，AE⊥DF（直接填出結(jié)果，不要求證明）．

　

　

Answer 1

 解：（1）延長AE交DC的延長線于H，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB∥DH，

∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，

∴△BEA∽△CEH，

∴，

設EC=m，則AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，

同理：△AFP∽△DPH，

∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，

設AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=n，

∴PE=n，

∴AP：PE=3：5，

∴=，=；

（2）證明：如圖，延長AE交DC的延長線于H，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB∥DH，

∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，

∴△BEA∽△CEH，

∴，

設EC=2a，BE=4a，則AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，

同理：△AFP∽△HDP，，

設AP=2k，PH=9k，

∴AH=11k，

∴EH=，

∴PE=，

∴=，

∴8AP=3PE；

（3）當AE⊥DF時，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，

∵△AFP∽△AFD，

∴FP：AP=AF：AD=2：3，

∴AF=AD=AB，BF=AB，

∴BF=AF，

∴n=．