Question

如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為4，則陰影部分的面積等于

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,扇形面積的計算

專題：壓軸題

分析：先正確作輔助線，構(gòu)造扇形和等邊三角形、直角三角形，分別求出兩個弓形的面積和兩個三角形面積，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：連接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，過O作OZ⊥CD于Z，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂徑定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，F(xiàn)N=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2

3

，OM=OB•cos60°=2，
∴BD=2BM=4

3

，
∴△BDO的面積是

1

2

×BD×OM=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
同理△FDO的面積是4

3

；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2

3

，
∴S_扇形OCD-S_△COD=

60π×42

360

-

1

2

×4×2

3

=

8

3

π-4

3

，
∴陰影部分的面積是：4

3

+4

3

+

8

3

π-4

3

+

8

3

π-4

3

=

16

3

π，
故答案為：

16

3

π．

點評：本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出兩個弓形和兩個三角形面積，題目比較好，難度適中．