Question

（2013•湖北）一張矩形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．

（1）判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請(qǐng)寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）探究與計(jì)算：
已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20，另一邊長(zhǎng)為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請(qǐng)畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．
（3）歸納與拓展：
已知矩形ABCD兩鄰邊的長(zhǎng)分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知操作步驟畫出即可；
（2）根據(jù)已知得出符合條件的有4種情況，畫出圖形即可；
（3）根據(jù)題意得出第1次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：

1

5

，

4

5

；

3

7

，

4

7

；

2

7

，

5

7

；

3

8

，

5

8

，最終得出長(zhǎng)邊和短邊的比是1：2，即可進(jìn)行操作后得出正方形．

解答：解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：


（2）裁剪線的示意圖如下：


（3）b：c的值為

1

5

，

4

5

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

3

8

，

5

8

，
規(guī)律如下：第4次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：

1

2

；
第3次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：

1

3

，

2

3

；
第2次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：

1

4

，

3

4

；

2

5

，

3

5

；
第1次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：

1

5

，

4

5

；

3

7

，

4

7

；

2

7

，

5

7

；

3

8

，

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，尋找規(guī)律的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的變換能力和了解能力，注意：要進(jìn)行分類討論．