Question

如圖，在拋物線y=-x²上取三點(diǎn)A、B、C，設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a（a＞0），a+1，直線BC與x軸平行．
（1）把△ABC的面積S用a表示；
（2）當(dāng)△ABC的面積S為15時，求a的值；
（3）當(dāng)△ABC的面積S=15時，在BC上求一點(diǎn)D，使△ACD的面積為7．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（a，-a²），B（a+1，-（a+1）²），再利用拋物線的對稱性得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（-（a+1），-（a+1）²）；
然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）利用（1）中的結(jié)論可得到關(guān)于a的方程2a²+3a+1=15，然后解一元二次方程即可得到滿足條件的a的值；
（3）當(dāng)a=2時，可寫出A（2，-4），B（3，-9），C（-3，-9），由于D點(diǎn)在BC上，則設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-9），利用三角形面積公式得到

1

2

•（-4+9）•（t+3）=7，然后解方程求出t即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=a時，y=-x²=-a²，則A（a，-a²）；當(dāng)x=a+1時，y=-x²=-（a+1）²，則B（a+1，-（a+1）²）；
∵拋物線y=-x²上對稱軸為y軸，
而BC與x軸平行，
∴點(diǎn)C與B點(diǎn)為對稱點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-（a+1），-（a+1）²）；
∴△ABC的面積S=

1

2

（a+1+a+1）•[-a²+（a+1）²]=2a²+3a+1；
（2）2a²+3a+1=15，
整理得2a²+3a-14=0，
解得a₁=-

7

2

，a₂=2，
而a＞0，
所以a的值為2；
（3）當(dāng)a=2時，A（2，-4），B（3，-9），C（-3，-9），
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-9），
∵△ACD的面積為7，
∴

1

2

•（-4+9）•（t+3）=7，解得t=-

1

5

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

5

，-9）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了三角形面積公式．