Question

正方形ABCD中，點E、F分別是BC、AB邊的中點，連接AE、CF，過點B作BM⊥FC交對角線AC于點N，連接FN，探究FN與AE的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出AB=BC，進而求得BF=BE，根據(jù)SAS證得△ABE≌△CBF，得出∠BAE=∠BCF，根據(jù)同角的余角相等，得出∠ABG=∠BCF=∠BAE，
進而求得OA=OB，∠OAG=∠OBE，根據(jù)ASA求得△AOG≌△BOE，得出AG=BE=AF，進而證得△ANF≌△ANG，得出∠AFN=∠AGB，進而求得∠AFN=∠MBC，根據(jù)∠AFN+∠BAE，=∠MBC+∠ABG=∠ABC=90°，即可求得FN⊥AE．

解答：證明：如圖，延長BN交AD于G，
∵正方形ABCD中，
∴AB=BC，
∵點E、F分別是BC、AB邊的中點，
∴BF=BE，
在△ABE和△CBF中

AB=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠BCF，
∵BM⊥FC，
∴∠ABG=∠BCF=∠BAE，
∴OA=OB，∠OAG=∠OBE，
在△AOG與△BOE中

∠OAG=∠OBE OA=OB ∠AOG=∠BOE

∴△AOG≌△BOE（ASA），
∴AG=BE=AF，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
在△ANF和△ANG中，

AF=AG ∠FAN=∠GAN AN=AN

∴△ANF≌△ANG（SAS），
∴∠AFN=∠AGB，
∵∠AGB=∠MBC，
∴∠AFN=∠MBC，
∵∠ABG=∠BAE，
∴∠AFN+∠BAE，=∠MBC+∠ABG=∠ABC=90°，
∴FN⊥AE．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是本題的關(guān)鍵．