Question

直線y=x+與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，⊙M為△AOB的外接圓．點(diǎn)C是劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，O重合）
（1）求⊙M的面積．
（2）連接BC交AO于點(diǎn)D，延長BC到點(diǎn)E，使DE=2，試探究，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線AE與⊙M相切，并說明理由．

Answer 1

解：（1）對(duì)于y=x+中，令x=0，y=；令y=0，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，），
∵⊙M經(jīng)過點(diǎn)A，O，B，且∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑．
AB=2，半徑為，
S=3π；

（2）當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線AE與⊙M相切．
證明：∵在RT△AOB中，OB=AB，
∴∠ABO=60°，∠BAO=30°，
∵點(diǎn)C是劣弧AO的中點(diǎn)，
∴，
∴∠ABD=∠CBO=30°，
∴OD=OBtan30°=1，∠BDO=60°，
∴△EAD中，AD=3-1=2，∠ADE=∠BDO=60°，
∵DE=2，
∴△EAD為等邊三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
∴AB⊥AE，
∴AE為⊙M的切線．
分析：（1）首先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由⊙M經(jīng)過點(diǎn)A，O，B，且∠AOB=90°，從而得出圓的半徑進(jìn)而求出面積；
（2）利用切線性質(zhì)定理與判定定理先得出△EAD為等邊三角形，進(jìn)而求出AE為⊙M的切線．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與判定定理，此定理是初中階段最重要的定理之一，同學(xué)們應(yīng)熟練地應(yīng)用．