Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D為⊙O 上一點，DE是⊙O的切線，DE⊥AC交AC的延長線于點E，F(xiàn)B是⊙O的切線交AD的延長線于點F．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，若要證明AD平分∠BAC，則問題可轉(zhuǎn)化為證明：∠1=∠2；
（2）作DH⊥AB，可證明△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于BF的比例式，計算即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥OE．             
又∵DE⊥AC，
∴AE∥OD．
∴∠2=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠1=∠ADO．
∴∠1=∠2，
即AD平分∠ABC；
（2）作DH⊥AB．
∵∠1=∠2，∠E=90°，
∴DH=DE=3．
連結(jié)OD，
∴OH=4．
∵BF是⊙O的切線，
∴DH∥BF．
∴△ADH∽△AFB．
∴

3

BF

=

9

10

．
∴BF=

10

3

．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．