Question

已知：拋物線y=ax²+2x+c，對稱軸為直線x=-1，拋物線與y軸交于點C，與軸交于A（-3，0）、B兩點。 （1）求直線AC的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）P為拋物線上一點，若以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點B，求點P的坐標。

Answer 1

解：（1）∵對稱軸，
∴a=1，
∵A（-3，0），
∴c=-3，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-3），
代入得：直線AC的解析式為y=-x-3；
（2）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N，
設D（x，x²+2x-3），則M（x，-x-3），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=
=
=
=，
∴當時，四邊形ABCD面積有最大值；
（3）如如圖所示，由拋物線的軸對稱性可求得B（1，0），
∵以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點B，
∴過點B作BC的垂線交拋物線于一點，則此點必為點P，
過點P作PE⊥x軸于點E，
可證Rt△PEB∽Rt△BOC，
∴，
故EB=3PE，設P（x，x²+2x-3），
∵B（1，0），
∴BE=1-x，PE=x²+2x-31-x=3（x²+2x-3），
解得x₁=1（不合題意舍去），，
∴P點的坐標為：。