(2003•重慶)已知拋物線y=-x2+(m-4)x+2m+4與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且x1<x2,x1+2x2=0.若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D.
(1)求過點(diǎn)C、B、D的拋物線的解析式;
(2)若P是(1)中所求拋物線的頂點(diǎn),H是這條拋物線上異于點(diǎn)C的另一點(diǎn),且△HBD與△CBD的面積相等,求直線PH的解析式.
【答案】分析:(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a=-1<0,故拋物線開口向下,由圖象于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知,拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0,令y=0,即-x2+(m-4)x+2m+4=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,及二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)列出方程及不等式組,即可求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).由點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱,可求出D點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過C、B、D的拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)中所得拋物線的解析式可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)P,因?yàn)椤鱄BD與△CBD同底,且其面積相等,故設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(x,y),則|y|=8,因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(-1,9),所以點(diǎn)H只能在x軸的上方,故y=8,代入(1)中所得拋物線的解析式即可求出H點(diǎn)的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法即可求出直線PH的解析式.
解答:解:(1)由題意得:

由①②得:x1=2m-8,x2=-m+4,
將x1、x2代入③得:(2m-8)(-m+4)=-2m-4,
整理得:m2-9m+14=0.
∴m1=2,m2=7(2分)
∵x1<x2
∴2m-8<-m+4
∴m<4
∴m2=7(舍去)(3分)
∴x1=-4,x2=2,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為:2m+4=8
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-4,0)、B(2,0)、C(0,8)(4分)
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱
∴D(4,0)(5分)
設(shè)經(jīng)過C、B、D的拋物線的解析式為:y=a(x-2)(x-4)(6分)
將C(0,8)代入上式得:8=a(0-2)(0-4)
∴a=1,
∴所求拋物線的解析式為:y=x2-6x+8.(7分)

(2)∵y=x2-6x+8=(x-3)2-1,
∴頂點(diǎn)P(3,-1)(8分)
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(x,y
∵△BCD與△HBD的面積相等
∴|y|=8
∵點(diǎn)H只能在x軸的上方,
故y=8
將y=8代入y=x2-6x+8中得:x=6或x=0(舍去)
∴H(6,8)(9分)
設(shè)直線PH的解析式為:y=kx+b得:

解得:,
∴直線PH的解析式為:y=3x-10.(12分)
點(diǎn)評(píng):此題比較復(fù)雜,綜合考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,及二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,是一道難度適中的題目.
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C.
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