(2003•重慶)已知拋物線y=-x2+(m-4)x+2m+4與x軸交于點A(x1,0)、B(x2,0)兩點,與y軸交于點C,且x1<x2,x1+2x2=0.若點A關(guān)于y軸的對稱點是點D.
(1)求過點C、B、D的拋物線的解析式;
(2)若P是(1)中所求拋物線的頂點,H是這條拋物線上異于點C的另一點,且△HBD與△CBD的面積相等,求直線PH的解析式.
【答案】
分析:(1)因為二次函數(shù)的二次項系數(shù)a=-1<0,故拋物線開口向下,由圖象于x軸有兩個交點可知,拋物線頂點的縱坐標大于0,令y=0,即-x
2+(m-4)x+2m+4=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,及二次函數(shù)圖象的特點列出方程及不等式組,即可求出A,B,C三點的坐標.由點A與點D關(guān)于y軸對稱,可求出D點的坐標,用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過C、B、D的拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)中所得拋物線的解析式可求出拋物線的頂點坐標P,因為△HBD與△CBD同底,且其面積相等,故設(shè)點H的坐標為H(x
,y
),則|y
|=8,因為拋物線的頂點坐標為P(-1,9),所以點H只能在x軸的上方,故y
=8,代入(1)中所得拋物線的解析式即可求出H點的坐標,再用待定系數(shù)法即可求出直線PH的解析式.
解答:解:(1)由題意得:
由①②得:x
1=2m-8,x
2=-m+4,
將x
1、x
2代入③得:(2m-8)(-m+4)=-2m-4,
整理得:m
2-9m+14=0.
∴m
1=2,m
2=7(2分)
∵x
1<x
2∴2m-8<-m+4
∴m<4
∴m
2=7(舍去)(3分)
∴x
1=-4,x
2=2,點C的縱坐標為:2m+4=8
∴A、B、C三點的坐標分別是A(-4,0)、B(2,0)、C(0,8)(4分)
又∵點A與點D關(guān)于y軸對稱
∴D(4,0)(5分)
設(shè)經(jīng)過C、B、D的拋物線的解析式為:y=a(x-2)(x-4)(6分)
將C(0,8)代入上式得:8=a(0-2)(0-4)
∴a=1,
∴所求拋物線的解析式為:y=x
2-6x+8.(7分)
(2)∵y=x
2-6x+8=(x-3)
2-1,
∴頂點P(3,-1)(8分)
設(shè)點H的坐標為H(x
,y
)
∵△BCD與△HBD的面積相等
∴|y
|=8
∵點H只能在x軸的上方,
故y
=8
將y
=8代入y=x
2-6x+8中得:x
=6或x
=0(舍去)
∴H(6,8)(9分)
設(shè)直線PH的解析式為:y=kx+b得:
,
解得:
,
∴直線PH的解析式為:y=3x-10.(12分)
點評:此題比較復(fù)雜,綜合考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,及二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,是一道難度適中的題目.