Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
求證：
（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．

（2）過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，
∵∠ACB=∠ADB，
又∵∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G為BC中點(diǎn)，∠GFC=∠BAD=∠DFC，
∵在△FGC和△DFC中，

∴△FGC≌△DFC（ASA），
∴CD=GC=BC．
∴BC=2CD．
分析：（1）利用在同圓中所對(duì)的弧相等，弦相等，所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和可證得∠CDF=90°，則CD⊥DF；
（2）應(yīng)先找到BC的一半，證明BC的一半和CD相等即可．
點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：同圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓周角相等，注意把所求角的度數(shù)進(jìn)行合理分割；證兩條線段相等，應(yīng)證這兩條線段所在的三角形全等．