Question

如圖，已知AB=BD，∠ABD=90°，△ABC為等邊三角形，∠AMD=60°，BE平分∠ABD．
（1）求∠BEC的度數(shù)；
（2）探究MD+MA與ME的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）易求得∠DBC=150°，BD=BC，即可求得∠BCE度數(shù)，再根據(jù)BE平分∠ABD可求得∠CBE度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°即可解題；
（2）連接AE，延長(zhǎng)MA于F使FA=FM，連接EF，易證△BDE≌△BAE，可得AE=DE，∠AEB=∠BED=120°，進(jìn)而可以求證△EDM≌△EAF，可得ME=MF，∠EMF=∠EFM=30°，即可求得MF和ME大小關(guān)系即可解題．

解答：解：

（1）∵AB=BD，△ABC是等邊三角形，
∴AD=BD=AC，
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵△ABD是等腰直角三角形，∠ABC=60°，
∴∠BCE=15°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠EBC=105°，
∴∠BEC=60°，
（2）連接AE，延長(zhǎng)MA于F使FA=FM，連接EF，
∵在△BDE和△BAE中，

BE=BE ∠ABE=∠DBE BA=BD

，
∴△BDE≌△BAE，（SAS）
∴AE=DE，∠AEB=∠BED=120°，
∴∠AED=120°，
∵∠AED+∠AMD=60°+120°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
∵∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF，
∵在△EDM和△EAF中，

FA=DM ∠EDM=∠EAF AE=DE

，
∴△EDM≌△EAF，（SAS）
∴ME=MF，∠EMF=∠EFM=30°，
∴MD+MA=MF=

3

ME．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△BDE≌△BAE和△EDM≌△EAF是解題的關(guān)鍵．