Question

若⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，⊙O₁與⊙O₂半徑分別為2和，公共弦長為2，則∠O₁AO₂的度數(shù)為（ ）
A．105°
B．75°或15°
C．105°或15°
D．15°

Answer 1

【答案】分析：連接AB、O₁O₂，兩線段交于點(diǎn)C，由垂徑定理可得：O₁O₂⊥AB且平分AB，再解Rt△O₁CA、Rt△O₂CA，可得∠O₁AC、∠O₂AC，即可求得∠O₁AO₂的度數(shù)．
解答：解：連接AB、O₁O₂，兩線段交于點(diǎn)C，如下圖所示：
①如圖1，∵AB為兩圓的交線，O₁O₂為兩圓圓心的連線，
∴O₁O₂⊥AB且平分AB；
∵已知O₁A=2，O₂A=，AB=2，
∴在Rt△O₁CA中，cos∠O₁AC=，
∴∠O₁AC=60°；
在Rt△O₂CA中，cos∠O₂AC=，
∴∠O₂AC=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=105°，
②如圖2所示：
同理可得：∴∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=15°，
綜上所述，∠O₁AO₂的度數(shù)為105°或15°．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查了相交圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．注意要分類討論，以防漏解．