Question

方程x²-6x-k=1與x²-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根．

Answer 1

解：（1）設方程只有一個根相同，設相同的根是m．
∴有m²-6m-k-1=0，①
m²-mk-7=0，②
①-②得（k-6）m=k-6，
∵m只有一個值，
∴k≠6，則m=1．
∴m=l代入①得k=-6．
（2）設方程有兩個相同的根，則有-k=-6且-k-l=-7，
∴k=6．此時方程有兩個不相等的實根為x₁=7，x₂=-1．
∴k=-6時，方程有一個相同的根是x=1；k=6時，方程有兩個相同的根是x₁=7，x₂=-1．
分析：要分類討論：（1）只有一個根相同，消去二次，得到關于m的一元一次方程求解；（2）方程有兩個相同的根，這兩個方程一樣，易求得k的值，再解方程得到相同的根．
點評：本題考查了兩個一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）有相同根的解法．首先要討論相同根的個數，若有兩個相同根，則兩個方程可化為一樣；若只有一個相同根，則轉化為一元一次方程求解．另一種解法為直接消去二次，得到不定方程，然后再分類討論解的問題．