Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=135°，∠PCD=125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請寫出具體求解過程．

問題遷移：

(1)如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合)，請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】問題情境：100°；問題遷移：(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；(2)∠CPD=∠α-∠β或∠CPD=∠α-∠β

【解析】

問題情境：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=45°+55°=100°；
問題遷移：

(1)過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
(2)畫出圖形(分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

問題情境：過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-135=45°，

∠CPE=180°-∠PCD=180°-125=55°，
∴∠APC=45°+55°=100°，
故答案為：100°；
問題遷移：

(1)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

(2)當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；

當(dāng)P在BO之間時，∠CPD=∠α-∠β．
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．